The Cauchy distribution, also called the Lorentzian distribution or Lorentz distribution, is a continuous distribution describing resonance behavior. It also describes the distribution of horizontal distances at which a line segment tilted at a random angle cuts the x-axis.

Let  represent the angle that a line, with fixed point of rotation, makes with the vertical axis, as shown above. Then

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)

so the distribution of angle  is given by

(5)

This is normalized over all angles, since

(6)

and

			(7)
			(8)
			(9)

The general Cauchy distribution and its cumulative distribution can be written as

			(10)
			(11)

where  is the half width at half maximum and  is the statistical median. In the illustration about, .

The Cauchy distribution is implemented in the Wolfram Language as CauchyDistribution[m, Gamma/2].

The characteristic function is

			(12)
			(13)

The moments  of the distribution are undefined since the integrals

(14)

diverge for .

If  and  are variates with a normal distribution, then  has a Cauchy distribution with statistical median  and full width

(15)

The sum of  variates each from a Cauchy distribution has itself a Cauchy distribution, as can be seen from

		{[phi(t)]^n}(x)" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CauchyDistribution/Inline48.gif" style="height:19px; width:94px" />	(16)
			(17)

where  is the characteristic function and  is the inverse Fourier transform, taken with parameters .

REFERENCES:

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 104, 1984.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Probability and Statistics. New York: McGraw-Hill, pp. 114-115, 1992.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

ضمن جهوده المتواصلة.. قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة غسل وتنظيف لمحيط العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يختتم مسابقة نجم الأئمة (عليهم السلام) بنسختها الخامسة في بغداد

المجمع العلمي يواصل الختمة القرآنية الرمضانية المرتلة حفظًا في مقام الإمام المهدي (عجَّل الله فرجه)

الحلقة 26 من جائزة العميد القرآنية تشهد مشاركة 5 قراء من الفتية ضمن المرحلة النهائية

المزيد

الآخبار الصحية

كوب قبل النوم.. مشروب طبيعي يحارب الأرق

دون أدوية.. طريقة طبيعية لخفض ضغط الدم بفعالية مذهلة

المعكرونة ليست عدوك.. كيف تصبح جزءا من وجبة صحية متوازنة؟

دراسة: تناول القهوة يوميا يخفض خطر الإصابة بالاضطرابات النفسية

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء روس يخططون لبناء منشأة للكشف عن المادة المظلمة

ثاني أكسيد الكربون ليس تهديدا للمناخ فقط.. بل لصحة الإنسان أيضا!

ديدان الأرض تكشف تلوث التربة بالمعادن الثقيلة

خبير أرصاد جوية: ظاهرة النينيو القادمة قد تكون الأقوى خلال 10 سنوات

المزيد