تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Nonlinear Least Squares Fitting
المؤلف:
Bates, D. M. and Watts, D. G.
المصدر:
Nonlinear Regression and Its Applications. New York: Wiley, 1988.
الجزء والصفحة:
...
30-3-2021
1562
Nonlinear Least Squares Fitting
Given a function of a variable
tabulated at
values
, ...,
, assume the function is of known analytic form depending on
parameters
, and consider the overdetermined set of
equations
![]() |
![]() |
![]() |
(1) |
![]() |
![]() |
![]() |
(2) |
We desire to solve these equations to obtain the values , ...,
which best satisfy this system of equations. Pick an initial guess for the
and then define
![]() |
(3) |
Now obtain a linearized estimate for the changes needed to reduce
to 0,
![]() |
(4) |
for , ...,
, where
. This can be written in component form as
![]() |
(5) |
where is the
matrix
![]() |
(6) |
In more concise matrix form,
![]() |
(7) |
where is an
-vector and
is an
-vector.
Applying the transpose of to both sides gives
![]() |
(8) |
Defining
![]() |
![]() |
![]() |
(9) |
![]() |
![]() |
![]() |
(10) |
in terms of the known quantities and
then gives the matrix equation
![]() |
(11) |
which can be solved for using standard matrix techniques such as Gaussian elimination. This offset is then applied to
and a new
is calculated. By iteratively applying this procedure until the elements of
become smaller than some prescribed limit, a solution is obtained. Note that the procedure may not converge very well for some functions and also that convergence is often greatly improved by picking initial values close to the best-fit value. The sum of square residuals is given by
after the final iteration.
An example of a nonlinear least squares fit to a noisy Gaussian function
![]() |
(12) |
is shown above, where the thin solid curve is the initial guess, the dotted curves are intermediate iterations, and the heavy solid curve is the fit to which the solution converges. The actual parameters are , the initial guess was (0.8, 15, 4), and the converged values are (1.03105, 20.1369, 4.86022), with
. The partial derivatives used to construct the matrix
are
![]() |
![]() |
![]() |
(13) |
![]() |
![]() |
![]() |
(14) |
![]() |
![]() |
![]() |
(15) |
The technique could obviously be generalized to multiple Gaussians, to include slopes, etc., although the convergence properties generally worsen as the number of free parameters is increased.
An analogous technique can be used to solve an overdetermined set of equations. This problem might, for example, arise when solving for the best-fit Euler angles corresponding to a noisy rotation matrix, in which case there are three unknown angles, but nine correlated matrix elements. In such a case, write the different functions as
for
, ...,
, call their actual values
, and define
![]() |
(16) |
and
![]() |
(17) |
where are the numerical values obtained after the
th iteration. Again, set up the equations as
![]() |
(18) |
and proceed exactly as before.
REFERENCES:
Bates, D. M. and Watts, D. G. Nonlinear Regression and Its Applications. New York: Wiley, 1988.
الاكثر قراءة في الاحتمالات و الاحصاء
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
