تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Correlation Coefficient--Bivariate Normal Distribution
المؤلف:
Bevington, P. R.
المصدر:
Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. New York: McGraw-Hill, 1969.
الجزء والصفحة:
...
27-3-2021
4331
+
-
20
Correlation Coefficient--Bivariate Normal Distribution
For a bivariate normal distribution, the distribution of correlation coefficients is given by
 |
 |
 |
(1) |
 |
 |
 |
(2) |
 |
 |
![((N-2)Gamma(N-1)(1-rho^2)^((N-1)/2)(1-r^2)^((N-4)/2))/(sqrt(2pi)Gamma(N-1/2)(1-rhor)^(N-3/2))×[1+1/4(rhor+1)/(2N-1)+9/(16)((rhor+1)^2)/((2N-1)(2N+1))+...],](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline9.gif) |
(3) |
where 
is the population correlation coefficient, 
is a hypergeometric function, and 
is the gamma function (Kenney and Keeping 1951, pp. 217-221). The moments are
 |
 |
 |
(4) |
 |
 |
 |
(5) |
 |
 |
 |
(6) |
 |
 |
 |
(7) |
where 
. If the variates are uncorrelated, then 
and
 |
 |
 |
(8) |
 |
 |
![(Gamma(N-1/2)2^(3/2-N)sqrt(pi))/([Gamma(N/2)]^2),](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline32.gif) |
(9) |
so
 |
 |
![((N-2)Gamma(N-1))/(sqrt(2pi)Gamma(N-1/2))(1-r^2)^((N-4)/2)(Gamma(N-1/2)2^(3/2-N)sqrt(pi))/([Gamma(N/2)]^2)](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline35.gif) |
(10) |
 |
 |
![(2^(1-N)(N-2)Gamma(N-1))/([Gamma(N/2)]^2)(1-r^2)^((N-4)/2).](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline38.gif) |
(11) |
But from the Legendre duplication formula,
 |
(12) |
so
 |
 |
![((2^(1-N))(2^(N-2))(N-2)Gamma(N/2)Gamma((N-1)/2))/(sqrt(pi)[Gamma(N/2)]^2)(1-r^2)^((N-4)/2)](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline41.gif) |
(13) |
 |
 |
 |
(14) |
 |
 |
 |
(15) |
 |
 |
 |
(16) |
The uncorrelated case can be derived more simply by letting 
be the true slope, so that 
. Then
 |
(17) |
is distributed as Student's t with 
degrees of freedom. Let the population regression coefficient 
be 0, then 
, so
 |
(18) |
and the distribution is
 |
(19) |
Plugging in for 
and using
 |
 |
![sqrt(nu)[(sqrt(1-r^2)-r(1/2)(-2r)(1-r^2)^(-1/2))/(1-r^2)]dr](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline59.gif) |
(20) |
 |
 |
 |
(21) |
 |
 |
 |
(22) |
gives
 |
 |
![1/(sqrt(nupi))(Gamma((nu+1)/2))/(Gamma(nu/2)[1+(r^2nu)/((1-r^2)nu)]^((nu+1)/2))sqrt(nu/((1-r)^3))dr](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline68.gif) |
(23) |
 |
 |
 |
(24) |
 |
 |
 |
(25) |
 |
 |
 |
(26) |
so
 |
(27) |
as before. See Bevington (1969, pp. 122-123) or Pugh and Winslow (1966, §12-8). If we are interested instead in the probability that a correlation coefficient would be obtained 
, where 
is the observed coefficient, then
 |
 |
 |
(28) |
 |
 |
 |
(29) |
 |
 |
 |
(30) |
Let 
. For even 
, the exponent 
is an integer so, by the binomial theorem,
 |
(31) |
and
 |
 |
 |
(32) |
 |
 |
 |
(33) |
For odd 
, the integral is
 |
 |
 |
(34) |
 |
 |
 |
(35) |
Let 
so 
, then
 |
 |
![1-2/(sqrt(pi))(Gamma[((nu+1)/2)])/(Gamma(nu/2))int_0^(sin^(-1)|r|)cos^(nu-2)xcosxdx](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline109.gif) |
(36) |
 |
 |
 |
(37) |
But 
is odd, so 
is even. Therefore
 |
(38) |
Combining with the result from the cosine integral gives
![P_c(r)=1-2/pi((2n)!!(2n-1)!!)/((2n-1)!!(2n)!!)[sinxsum_(k=0)^(n-1)((2k)!!)/((2k+1)!!)cos^(2k+1)x+x]_0^(sin^(-1)|r|).](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/NumberedEquation8.gif) |
(39) |
Use
 |
(40) |
and define 
, then
 |
(41) |
(In Bevington 1969, this is given incorrectly.) Combining the correct solutions
 |
(42) |
If 
, a skew distribution is obtained, but the variable 
defined by
 |
(43) |
is approximately normal with
 |
 |
 |
(44) |
 |
 |
 |
(45) |
(Kenney and Keeping 1962, p. 266).
Let 
be the slope of a best-fit line, then the multiple correlation coefficient is
 |
(46) |
where 
is the sample variance.
On the surface of a sphere,
 |
(47) |
where 
is a differential solid angle. This definition guarantees that 
. If 
and 
are expanded in real spherical harmonics,
 |
 |
![sum_(l=0)^(infty)sum_(m=0)^(l)[C_l^mY_l^m^c(theta,phi)sin(mphi)+S_l^mY_l^m^s(theta,phi)]](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline132.gif) |
(48) |
 |
 |
![sum_(l=0)^(infty)sum_(m=0)^(l)[A_l^mY_l^m^c(theta,phi)sin(mphi)+B_l^mY_l^m^s(theta,phi)].](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline135.gif) |
(49) |
Then
 |
(50) |
The confidence levels are then given by
 |
 |
 |
(51) |
 |
 |
 |
(52) |
 |
 |
![r[1+1/2s^2(1+3/4s^2)]=1/8r(15-10r^2+3r^4)](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution/Inline144.gif) |
(53) |
 |
 |
(54) |
|
 |
 |
 |
(55) |
where
 |
(56) |
(Eckhardt 1984).
REFERENCES:
Bevington, P. R. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. New York: McGraw-Hill, 1969.
Eckhardt, D. H. "Correlations Between Global Features of Terrestrial Fields." Math. Geology 16, 155-171, 1984.
Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.
Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 1, 3rd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1962.
Pugh, E. M. and Winslow, G. H. The Analysis of Physical Measurements. Reading, MA: Addison-Wesley, 1966.
الاكثر قراءة في الاحتمالات و الاحصاء
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
