المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أنيميا فقر الدم الانحلالي Hemolytic anemia
2024-12-21
نعلي الملك بسوسنس
2024-12-21
غطاء الأصابع والخواتم والنعال في عهد بسوسنس
2024-12-21
الأساورة في عهد بسوسنس
2024-12-21
تعاويذ القلب في عهد بسوسنس
2024-12-21
الجعارين
2024-12-21

صناعة الزيوت النباتية
15-6-2022
معنى كلمة ذرو
8-06-2015
The West and Midwest: phonology
2024-03-26
شريح الكنديّ
2023-02-22
صلاة الاستسقاء ـ بحث روائي
28-6-2016
culminativity (n.)
2023-08-02

Parabolic Cylinder Function  
  
1980   04:10 مساءً   date: 7-8-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : "Parabolic Cylinder Function." Ch. 19 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York:...
Page and Part : ...


Read More
Date: 3-6-2019 1701
Date: 24-6-2019 1393
Date: 15-10-2019 1402

Parabolic Cylinder Function

 

The parabolic cylinder functions are a class of functions sometimes called Weber functions. There are a number of slightly different definitions in use by various authors.

Whittaker and Watson (1990, p. 347) define the parabolic cylinder functions D_nu(z) as solutions to the Weber differential equation

(1)

The two independent solutions are given by y=D_nu(z) and y=D_(-nu-1)(iz), where

D_nu(z) = 2^(nu/2+1/4)z^(-1/2)W_(nu/2+1/4,-1/4)(1/2z^2)

(2)

= (2^(nu/2)e^(-z^2/4)(-iz)^(1/4)(iz)^(1/4))/(sqrt(z))U(-1/2nu,1/2,1/2z^2),

(3)

which, in the right half-plane R[z]>0, is equivalent to

 D_nu(z)=2^(nu/2)e^(-z^2/4)U(-1/2nu,1/2,1/2z^2),

(4)

where W_(k,m)(z) is the Whittaker function (Whittaker and Watson 1990, p. 347; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 1018) and U(a,b,z) is a confluent hypergeometric function of the first kind.

This function is implemented in the Wolfram Language as ParabolicCylinderD[nuz].

ParabolicCylinderD

For nu a nonnegative integer n, the solution D_n reduces to

D_n(x) = 2^(-n/2)e^(-x^2/4)H_n(x/(sqrt(2)))

(5)

= e^(-x^2/4)He_n(x),

(6)

where H_n(x) is a Hermite polynomial and He_n is a modified Hermite polynomial. Special cases include

D_(-1)(z) = e^(z^2/4)sqrt(pi/2)erfc(z/(sqrt(2)))

(7)

D_(-1/2)(z) = sqrt(z/(2pi))K_(1/4)(1/4z^2)

(8)

for R[z]>0, where K_nu(z) is an modified Bessel function of the second kind.

ParabolicCylinderDReImParabolicCylinderDContours

Plots of the function D_1(z) in the complex plane are shown above.

The parabolic cylinder functions D_nu satisfy the recurrence relations

 D_(nu+1)(z)-zD_nu(z)+nuD_(nu-1)(z)=0

(9)

(10)

The parabolic cylinder function for integral n can be defined in terms of an integral by

 D_n(z)=1/piint_0^pisin(ntheta-zsintheta)dtheta

(11)

(Watson 1966, p. 308), which is similar to the Anger function. The result

 int_(-infty)^inftyD_m(x)D_n(x)dx=delta_(mn)n!sqrt(2pi),

(12)

where delta_(ij) is the Kronecker delta, can also be used to determine the coefficients in the expansion

 f(z)=sum_(n=0)^inftya_nD_n

(13)

as

 a_n=1/(n!sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyD_n(t)f(t)dt.

(14)

For nu real,

 int_0^infty[D_nu(t)]^2dt=pi^(1/2)2^(-3/2)(phi_0(1/2-1/2nu)-phi_0(-1/2nu))/(Gamma(-nu))

(15)

(Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 885, 7.711.3), where Gamma(z) is the gamma function and phi_0(z) is the polygamma function of order 0.

Abramowitz and Stegun (1972, p. 686) define the parabolic cylinder functions as solutions to

(16)

sometimes called the parabolic cylinder differential equation (Zwillinger 1995, p. 414; Zwillinger 1997, p. 126). This can be rewritten by completing the square,

(17)

Now letting

u = x+b/(2a)

(18)

du = dx

(19)

gives

 (d^2y)/(du^2)+(au^2+d)y=0

(20)

where

 d=(b^2)/(4a)+c.

(21)

Equation (◇) has the two standard forms

= 0

(22)

= 0.

(23)

For a general a, the even and odd solutions to (◇) are

y_1(x) = e^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+1/4;1/2;1/2x^2)

(24)

y_2(x) = xe^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+3/4;3/2;1/2x^2),

(25)

where _1F_1(a;b;z) is a confluent hypergeometric function of the first kind. If y(a,x) is a solution to (22), then (23) has solutions

 y(+/-ia,xe^(∓ipi/4)),y(+/-ia,-xe^(∓ipi/4)).

(26)

Abramowitz and Stegun (1972, p. 687) define standard solutions to (◇) as

U(a,x) = cos[pi(1/4+1/2a)]Y_1-sin[pi(1/4+1/2a)]Y_2

(27)

V(a,x) = (sin[pi(1/4+1/2a)]Y_1+cos[pi(1/4+1/2a)]Y_2)/(Gamma(1/2-a)),

(28)

Y_1 = 1/(sqrt(pi))(Gamma(1/4-1/2a))/(2^(a/2+1/4))y_1

(29)

= 1/(sqrt(pi))(Gamma(1/4-1/2a))/(2^(a/2+1/4))e^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+1/4;1/2;1/2x^2)

(30)

Y_2 = 1/(sqrt(pi))(Gamma(3/4-1/2a))/(2^(a/2-1/4))y_2

(31)

= 1/(sqrt(pi))(Gamma(3/4-1/2a))/(2^(a/2-1/4))xe^(-x^2/4)_1F_1(1/2a+3/4;3/2;1/2x^2).

(32)

In terms of Whittaker and Watson's functions,

U(a,x) = D_(-a-1/2)(x)

(33)

V(a,x) = (Gamma(1/2+a)[sin(pia)D_(-a-1/2)(x)+D_(-a-1/2)(-x)])/pi.

(34)


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Parabolic Cylinder Function." Ch. 19 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 685-700, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "Parabolic Cylinder Functions" and "Parabolic Cylinder Functions D_p(z)" §7.7 and 9.24-9.25 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 835-842, 1018-1021, 2000.

Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). "Parabolic Cylinder Functions (Weber Functions)." Appendix A, Table 20.III in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1479, 1980.

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Parabolic Cylinder, Hermite, and Hh Functions" et seq. §23.08-23.081 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 620-627, 1988.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Parabolic Cylinder Function D_nu(x)." Ch. 46 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 445-457, 1987.

Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "The Parabolic Cylinder Function." §16.5 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 347-348, 1990.

Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 414, 1995.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 126, 1997.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.