المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أضيف حديثاً
{افان مات او قتل انقلبتم على اعقابكم}
2024-11-24
العبرة من السابقين
2024-11-24
تدارك الذنوب
2024-11-24
الإصرار على الذنب
2024-11-24
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024

مختارات
تقنية النانو والفضاء (Nano and Space)
2023-08-01
إخبار النبي عن الغيب كالمسيح
30-01-2015
التعويضات والمخصصات
2023-08-26
مفهوم التسلح
20-1-2022
Single-Layered Squamous Epithelium-Peritoneum-Serosa
28-7-2016
تصنيف درجات البناء بشكل عام
2-2-2023

Lanczos Approximation  
  
1042   12:27 صباحاً   date: 22-5-2019
Author : Lanczos, C. J
Book or Source : Soc. Indust. Appl. Math. Ser. B: Numer. Anal. 1
Page and Part : ...


Read More
Elliptic Invariants
Date: 22-4-2019 1271
Continuity-Piecewise Constant Function
Date: 10-5-2018 1906
L-Algebraic Number
Date: 10-8-2019 1815

Lanczos Approximation

An approximation for the gamma function Gamma(z+1) with R[z]>0 is given by

Gamma(z+1)=sqrt(2pi)(z+sigma+1/2)^(z+1/2)e^(-(z+sigma+1/2))sum_(k=0)^inftyg_kH_k(z),

(1)

where sigma is an arbitrary constant such that R[z+sigma+1/2]>0,

g_k=(e^sigmaepsilon_k(-1)^k)/(sqrt(2pi))sum_(r=0)^k(-1)^r(k; r)(k)_r(e/(r+sigma+1/2))^(r+1/2),

(2)

where (k)_r is a Pochhammer symbol and

epsilon_k={1 for k=0; 2 otherwise,

(3)

and

H_k(z) = 1/((z+1)_k(z+1)_(-k))

(4)
= ((-1)^k(-z)_k)/((z+1)_k),

(5)

with H_0(z)=1 (Lanczos 1964; Luke 1969, p. 30). g_k satisfies

sum_(k=0)^inftyg_k=1,

(6)

and if z is a positive integer, then g_k satisfies the identity

sum_(k=0)^n((-1)^k(-n)_k)/((n+1)_k)g_k=(e^(n+sigma+1/2)n!)/(sqrt(2pi)(n+sigma+1/2)^(n+1/2))

(7)

(Luke 1969, p. 30).

A similar result is given by

ln[Gamma(z)] = (z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2[(c_1)/(z+1)+(c_2)/(2(z+1)(z+2))+...]

(8)
= (z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=1)^(infty)(zc_n)/(n(z)_(n+1))

(9)
= (z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=1)^(infty)(z!c_n)/(n(n+z)!),

(10)

where (z)_n is a Pochhammer symbol, n! is a factorial, and

c_n=int_0^1(x)_n(2x-1)dx.

(11)

The first few values of c_n are

c_1 = 1/6

(12)
c_2 = 1/3

(13)
c_3 = (59)/(60)

(14)
c_4 = (58)/(15)

(15)
c_5 = (533)/(28)

(16)

(OEIS A054379 and A054380; Whittaker and Watson 1990, p. 253). Note that Whittaker and Watson incorrectly give c_4 as 227/60.

Yet another related result gives

ln[Gamma(z)]=(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2[1/(2·3)sum_(r=1)^infty1/((z+r)^2)+2/(3·4)sum_(r=1)^infty1/((z+r)^3)+3/(4·5)sum_(r=1)^infty1/((z+r)^4)+...] =(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=2)^infty((n-1))/(n(n+1))zeta(n,z+1) =(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=2)^infty((-1)^n(n-1))/((n+1)!)psi_(n-1)(z)

(17)

(Whittaker and Watson 1990, p. 261), where zeta(s,a) is a Hurwitz zeta function and psi_n(z) is a polygamma function.

REFERENCES:

Lanczos, C. J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. B: Numer. Anal. 1, 86-96, 1964.

Luke, Y. L. "An Expansion for Gamma(z+1)." §2.10.3 in The Special Functions and their Approximations, Vol. 1. New York: Academic Press, pp. 29-31, 1969.

Sloane, N. J. A. Sequences A054379 and A054379 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
تفوقت في الاختبار على الجميع.. فاكهة "خارقة" في عالم التغذية
التاريخ / 2024-11-23

الأخبار العلمية
أمين عام أوبك: النفط الخام والغاز الطبيعي "هبة من الله"
التاريخ / 2024-11-23

الساحة الاسلامية
قسم شؤون المعارف ينظم دورة عن آليات عمل الفهارس الفنية للموسوعات والكتب لملاكاته
التاريخ / 2024-11-24