المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

خصائص تكنولوجيا مصادر الطاقة البديلة
30-6-2021
الاطار الشامل لعناصر المزيج التسويقي الدولي
6-9-2016
معرفة الحالة النفسية للشباب
2024-08-29
ولاة أمير المؤمنين علي على البحرين
29-4-2016
قدر magnitude
10-6-2017
مودّة الزهراء ( عليها السّلام) أجر الرسالة
8-5-2022

Wigner 3j-Symbol  
  
3427   01:27 صباحاً   date: 16-4-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : "Vector-Addition Coefficients." §27.9 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York:...
Page and Part : ...


Read More
Date: 23-4-2019 2132
Date: 26-8-2019 1461
Date: 20-7-2019 1872

Wigner 3j-Symbol

 

The Wigner 3j-symbols (j_1 j_2 j_3; m_1 m_2 m_3), also known as "3j symbols" (Messiah 1962, p. 1056) or Wigner coefficients (Shore and Menzel 1968, p. 275) are quantities that arise in considering coupled angular momenta in two quantum systems.

 

They are returned by the Wolfram Language function ThreeJSymbol[{j1m1}{j2m2}{j3m3}].

The parameters of the 3j symbol (j_1 j_2 J; m_1 m_2 -M) (where m_3 has been written as -M) are either integers or half-integers. Additionally, they satisfy the follow selection rules (Messiah 1962, pp. 1054-1056; Shore and Menzel 1968, p. 272).

1. m_1 in {-|j_1|,...,|j_1|}m_2 in {-|j_2|,...,|j_2|}, and M in {-|J|,...,|J|}.

2. m_1+m_2=M.

3. The triangular inequalities |j_1-j_2|<=J<=j_1+j_2.

4. Integer perimeter rule: j_1+j_2+J is an integer.

Note that not all these rules are independent, since rule (4) is implied by the other three. If these conditions are not satisfied, (j_1 j_2 J; m_1 m_2 -M)=0.

The Wigner 3j-symbols have the symmetries

(j_1 j_2 j; m_1 m_2 m) = (j_2 j j_1; m_2 m m_1)

(1)

= (j j_1 j_2; m m_1 m_2)

(2)

= (-1)^(j_1+j_2+j)(j_2 j_1 j; m_2 m_1 m)

(3)

= (-1)^(j_1+j_2+j)(j_1 j j_2; m_1 m m_2)

(4)

= (-1)^(j_1+j_2+j)(j j_2 j_1; m m_2 m_1)

(5)

= (-1)^(j_1+j_2+j)(j_1 j_2 j; -m_1 -m_2 -m)

(6)

(Messiah 1962, p. 1056).

The 3j-symbols can be computed using the Racah formula

(7)

where Delta(abc) is a triangle coefficient,

(8)

and the sum is over all integers t for which the factorials in f(t) all have nonnegative arguments (Messiah 1962, p. 1058; Shore and Menzel 1968, p. 273). In particular, the number of terms is equal to nu+1, where nu is the smallest of the nine numbers

(9)

(Messiah 1962, p. 1058).

The symbols obey the orthogonality relations

(10)

(11)

where delta_(ij) is the Kronecker delta.

General formulas are very complicated, but some specific cases are

(l l 0; m -m 0) = ((-1)^(l-m))/(sqrt(2l+1))

(12)

(j_1 j_2 j_1+j_2; m_1 m_2 -M) =

(13)

(j_1 j_2 j; j_1 -j_1 -m) =

(14)

(j_1 j_2 j; 0 0 0) =

(15)

for J=j_1+j_2+j (Condon and Shortley 1951, pp. 76-77; Messiah 1962, pp. 1058-1060; Shore and Menzel 1968, p. 275; Abramowitz and Stegun 1972, pp. 1006-1010).

For spherical harmonics Y_l^m(theta,phi),

(16)

For values of l_3 obeying the triangle condition Delta(l_1l_2l_3),

(17)

and

 1/2intP_(l_1)(costheta)P_(l_2)(costheta)P_(l_3)(costheta)sinthetadtheta=(l_1 l_2 l_3; 0 0 0)^2.

(18)

They can be expressed using the related Clebsch-Gordan coefficients  (Condon and Shortley 1951, pp. 74-75; Wigner 1959, p. 206), or Racah V-coefficients V(j_1j_2j;m_1m_2m).

Connections among the Wigner 3j-, Clebsch-Gordan, and Racah V-symbols are given by

 (j_1j_2m_1m_2|j_1j_2jm)=(-1)^(m+j_1-j_2)sqrt(2j+1)(j_1 j_2 j; m_1 m_2 -m)

(19)

 (j_1j_2m_1m_2|j_1j_2jm)=(-1)^(j+m)sqrt(2j+1)V(j_1j_2j;m_1m_2-m)

(20)

 V(j_1j_2j;m_1m_2m)=(-1)^(-j_1+j_2+j)(j_1 j_2 j_1; m_2 m_1 m_2).

(21)


 

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Vector-Addition Coefficients." §27.9 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1006-1010, 1972.

Biedenharn, L. C. and Louck, J. D. The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.

Biedenharn, L. C. and Louck, J. D. Angular Momentum in Quantum Physics: Theory and Applications. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.

Condon, E. U. and Shortley, G. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1951.

de Shalit, A. and Talmi, I. Nuclear Shell Theory. New York: Academic Press, 1963.

Edmonds, A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd ed., rev. printing. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1968.

Gordy, W. and Cook, R. L. Microwave Molecular Spectra, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 804-811, 1984.

Messiah, A. "Clebsch-Gordan (C.-G.) Coefficients and '3j' Symbols." Appendix C.I in Quantum Mechanics, Vol. 2. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 1054-1060, 1962.

Racah, G. "Theory of Complex Spectra. II." Phys. Rev. 62, 438-462, 1942.

Rose, M. E. Elementary Theory of Angular Momentum. New York: Dover, 1995.

Rotenberg, M.; Bivens, R.; Metropolis, N.; and Wooten, J. K. The 3j and 6j Symbols. Cambridge, MA: MIT Press, 1959.

Shore, B. W. and Menzel, D. H. Principles of Atomic Spectra. New York: Wiley, pp. 275-276, 1968.

Sobel'man, I. I. "Angular Momenta." Ch. 4 in Atomic Spectra and Radiative Transitions, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

Wigner, E. P. Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, expanded and improved ed. New York: Academic Press, 1959.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.