The Lerch transcendent is generalization of the Hurwitz zeta function and polylogarithm function. Many sums of reciprocal powers can be expressed in terms of it. It is classically defined by

(1)

for  and , , .... It is implemented in this form as HurwitzLerchPhi[z, s, a] in the Wolfram Language.

The slightly different form

(2)

sometimes also denoted , for  (or  and ) and , , , ..., is implemented in the Wolfram Language as LerchPhi[z, s, a]. Note that the two are identical only for .

A series formula for  valid on a larger domain in the complex -plane is given by

(3)

which holds for all complex  and complex  with  (Guillera and Sondow 2005).

The Lerch transcendent can be used to express the Dirichlet beta function

			(4)
			(5)

A special case is given by

(6)

(Guillera and Sondow 2005), where  is the polylogarithm.

Special cases giving simple constants include

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

where  is Catalan's constant,  is Apéry's constant, and  is the Glaisher-Kinkelin constant (Guillera and Sondow 2005).

It gives the integrals of the Fermi-Dirac distribution

			(11)
			(12)

where  is the gamma function and  is the polylogarithm and Bose-Einstein distribution

			(13)
			(14)

Double integrals involving the Lerch transcendent include

(15)

where  is the gamma function. These formulas lead to a variety of beautiful special cases of unit square integrals (Guillera and Sondow 2005).

It also can be used to evaluate Dirichlet L-series.

REFERENCES:

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Function ." §1.11 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 27-31, 1981.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "The Lerch Function ." §9.55 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1029, 2000.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد