Hadjicostas's formula is a generalization of the unit square double integral

(1)

(Sondow 2003, 2005; Borwein et al. 2004, p. 49), where  is the Euler-Mascheroni constant. It states

(2)

for , where  is the gamma function and  is the Riemann zeta function (although care must be taken at  because of the removable singularity present there). It was conjectured by Hadjicostas (2004) and almost immediately proved by Chapman (2004). The special case  gives Beukers's integral for ,

(3)

(Beukers 1979). At , the formula is related to Beukers's integral for Apéry's constant , which is how interest in this class of integrals originally arose.

There is an analogous formula

(4)

for , due to Sondow (2005), where  is the Dirichlet eta function. This includes the special cases

			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A094640; Sondow 2005) and

			(8)
			(9)

REFERENCES:

Beukers, F. "A Note on the Irrationality of  and ." Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.

Chapman, R. "A Proof of Hadjicostas's Conjecture." 15 Jun 2004. http://arxiv.org/abs/math/0405478.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Hadjicostas, P. "A Conjecture-Generalization of Sondow's Formula." 21 May 2004. http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0405423/.

Sloane, N. J. A. Sequences A094640, A103130 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Sondow, J. "Criteria for Irrationality of Euler's Constant." Proc. Amer. Math. Soc. 131, 3335-3344, 2003. http://arxiv.org/abs/math.NT/0209070.

Sondow, J. "Double Integrals for Euler's Constant and  and an Analog of Hadjicostas's Formula." Amer. Math. Monthly112, 61-65, 2005.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة عن أخلاقيات المهنة للمنتسبين الجدد

تتضمن زيارة المراقد المقدسة في كربلاء.. معهد القرآن الكريم النسوي ينظم سفرة دينية لطالباته

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد