أنـمـوذج هوتـليـنـج لمـدتيـن للإستـغلال الأمـثـل للمـوارد 1
المؤلف:
د . حمد بن محمد آل الشيخ
المصدر:
اقتصاديات الموارد الطبيعية والبيئة
الجزء والصفحة:
ص105 - 111
2025-08-21
365
5-3 أنموذج هوتلينج لمدتين:
يعد قراي (1914;L.C.Gray) أول من قدم تحليلاً اقتصادياً مبسطاً لمورد قابل للنضوب، كان ممثلاً في منجم نحاس. كما يعد أنموذج هوتلينج Hoteling) (1931. أول تطبيق تحليلي رياضي متكامل في مجال الاستغلال الأمثل للموارد القابلة للنضوب من وجهة نظر المخطط الاجتماعي، حيث إن أحد أهم افتراضات هذا الأنموذج هو أن المنتج لهذا المورد محتكر للسوق، وهذا لا يتوفر غالباً إلا في المخطط الاجتماعي. ومن الجدير بالذكر هنا أن كلاً من التحليل الاقتصادي لقراي وهوتلينج كانا على مستوى القطاع؛ أي: على مستوى المخطط الاجتماعي، لأنه لا يمكن أن يمتلك قطاع بالكامل للدولة التي يمثلها المخطط الاجتماعي؛ وكلاهما وصل إلى الشروط الضرورية نفسها والكافية للاستغلال الأمثل للمورد القابل للنضوب ويمكن بطرق مختلفة.
نقدم هنا الحالة العامة لأنموذج هوتلينج عندما لا يتم تحديد المدى الزمني لاستغلال المورد القابل للنضوب؛ أي إن المدى الزمني يعد مفتوحاً. نفترض هنا أولاً أن لدينا مورداً قابلاً للنضوب دالة الطلب عليه خطية، وبمعنى آخر فإن معكوس دالة الطلب على هذا المورد هي:
Pt = a - bRt
ويوضح الشكل (13-3) رسم دالة معكوس الطلب حيث Pt هو سعر المورد في المدة t و Rt الكمية المستخرجة منه ، ويمثل a قاطع منحنى الطلب، وهي ترمز إلى الكمية المطلوبة في حال كون السعر يساوي صفراً ، بينما b - هي معامل مرونة الطلب الذي يربط تغير السعر للمورد الناضب مع الكمية المستخرجة من المورد القابل للنضوب Rt ، بينما Rt هي كمية المورد القابل للنضوب المستخرجة في المدةt .
يوضح أنموذج هوتلينج استنتاجاً مهماً يسمى قاعدة هوتلينج Hoteling's Principle هو . أن سعر المورد القابل للنضوب يتزايد عبر الزمن بمعدل يساوي الفائدة أو معدل الخصم، هذا الاستنتاج هو ما سمي فيما بعد بقاعدة هوتلينج ويمكن التعبير عنها رياضياً في الدالة الآتية وبيانياً في الشكل (14-3) كما يأتي:
Pt = P0(1+r)t
وبعبارة أخرى تقول قاعدة هوتلنج إن سعر المورد في المدة t يساوي سعره في المدة الابتدائية 0 P مركباً بمعدل R وبذلك فإن مالك المورد سيكون سيان بالنسبة لوحدة من المورد الآن بسعر P0 أو في المستقبل t بسعر يساوي P0(1+r)t ؛ هذا المبدأ هو ما تم تأكيده في الفصول السابقة من وجهة نظر اقتصاديات الموارد القابلة للنضوب من اعتبار مخزون المورد القابل للنضوب غير المستخرج ثروة رأسمالية للمجتمع تعبر عن مخزون رأسمالي للمجتمع. كما يمكن التعبير عن هذه القاعدة كما يأتي:
فإذا كان السعر الابتدائي للمورد p0 والسعر في المدة t هو Pt فإن:
وتوضح المعادلة السابقة أن صافي الربح Pt - MCt من الاستخراج الحالي في الزمن t ، يساوي القيمة الحالية لصافي الربح من الاستخراج MC -p0 في المدة الابتدائية. كما يمكن إعادة كتابة القاعدة السابقة لهوتلنج كما يأتي:
حيث توضح القاعدة أنه كلما ارتفع السعر، فإن ريع المورد ينمو زمنياً بمعدل يساوي معدل الفائدة.
يفترض أنموذج هوتلنج هذا أن الطلب على المورد الناضب لن يتغير في المستقبل، ورجوعاً إلى هذا الأنموذج الذي يتعامل مع الموارد الطبيعية القابلة للنضوب في مكانها أو مناجمها على أنها أصل رأسمالي يستنتج ما يأتي:
أولاً: أن سعر المورد سيرتفع بمعدل الفائدة، بمعنى أن:
= rP dt/dp
حيث يكون الحل لهذه المعادلة التفاضلية هو:
Pt = P0e
حيث 0 P هو السعر الابتدائي.
ثانياً: أن مجموع ما سيتم استخراجه من المورد عبر المدى الزمني لن يزيد عن المخزون الابتدائي، وهو ما يمكن التعبير عنه رياضياً بطرق عدة، منها أن:
ثالثاً: سيكون هنالك توازن بين عرض وطلب المورد القابل للنضوب بمعنى أن سوق هذا القابل للنضوب سيكون في حالة توازن.
ومن خلال معادلة معكوس دالة الطلب (دالة السعر) المشار إليها يمكن الحصول على المنافع الإجمالية (t Total Benefit (TB للمورد أو المساحة التي تكون تحت منحنى الطلب التي يمكن حسابها بتكامل المساحة تحت منحنى الطلب:
وهي المساحة المظللة التي تحت منحنى الطلب كما في الشكل (3–15)
وإذا كانت التكاليف الحدية (Marginal Cost (MC لاستخراج المورد ثابتة Constant عند C فيمكننا الحصول على التكاليف الكلية (Total Cost (TC t بحساب تكاملها كما يأتي:
MC t = C
TC t = CR
وبذلك تكون التكاليف الكلية هي المساحة التي تحت منحنى العرض S كما في الشكل (16-3) الآتي:
ومعروف أن فائض المجتمع هو المنطقة التي تحت منحنى الطلب وفوق منحنى العرض أي: هي المساحة المظللة في الشكل (17-3) ، وهي تمثل مجموع فائض المستهلك وفائض المنتج.
ـ 
إذا كان المخزون الموجود من هذا المورد هو S0 ، بحيث تكون كمية المخزون الابتدائية هي 20 =S0 ، وكان المدى الزمني لاستغلال هذا المورد هو T ، فتكون بذلك مسألة التوزيع الأمثل للمورد (أنموذج التحكم الأمثل) خلال المدة T هي تعظيم قيمة دالة الهدف:
ويمكن إعادة كتابة معادلة الهدف السابقة كما يأتي:
حيث يمثل بسط الجزء الأول من المعادلة تكامل معكوس دالة الطلب على المورد القابل للنضوب؛ أي: المنطقة التي تحت منحنى الطلب، بينما يمثل الجزء الثاني من المعادلة تكامل دالة التكاليف (العرض)، أي: المنطقة التي تحت منحنى العرض.
الاكثر قراءة في ألانظمة الاقتصادية
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
