1

x

هدف البحث

بحث في العناوين

بحث في اسماء الكتب

بحث في اسماء المؤلفين

اختر القسم

القرآن الكريم
الفقه واصوله
العقائد الاسلامية
سيرة الرسول وآله
علم الرجال والحديث
الأخلاق والأدعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الجغرافية
الادارة والاقتصاد
القانون
الزراعة
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الهندسة المدنية
الأعلام
اللغة الأنكليزية

موافق

الرياضيات

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : التفاضل و التكامل :

Natural Logarithm of 2

المؤلف:  Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H.

المصدر:  "Integer Relation Detection." §2.2 in Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters

الجزء والصفحة:  ...

25-6-2019

1585

Natural Logarithm of 2

The natural logarithm of 2 is a transcendental quantity that arises often in decay problems, especially when half-lives are being converted to decay constants. ln2 has numerical value

 

ln2=0.69314718055994530941...

(1)

(OEIS A002162).

The irrationality measure of ln2 is known to be less than 3.8913998 (Rukhadze 1987, Hata 1990).

It is not known if ln2 is normal (Bailey and Crandall 2002).

The alternating series and BBP-type formula

eta(1)=sum_(k=1)^infty((-1)^(k-1))/k=ln2

(2)

converges to the natural logarithm of 2, where eta(x) is the Dirichlet eta function. This identity follows immediately from setting x=1 in the Mercator series, yielding

ln2=sum_(k=1)^infty((-1)^(k+1))/k.

(3)

It is also a special case of the identity

1/nsum_(k=1)^n(-1)^(k-1)n/k=ln2-(-1)^nPhi(-1,1,n+1),

(4)

where Phi(z,s,a) is the Lerch transcendent.

This is the simplest in an infinite class of such identities, the first few of which are

ln2 = sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(3k+1)-1/(3k+2)+1/(3k+3))

(5)
= sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(5k+1)-1/(5k+2)+1/(5k+3)-1/(5k+4)+1/(5k+5))

(6)

(E. W. Weisstein, Oct. 7, 2007).

There are many other classes of BBP-type formulas for ln2, including

ln2 = 1/3sum_(k=0)^(infty)1/((-27)^k)(3/(6k+1)-2/(6k+3)-1/(6k+4))

(7)
= 1/6sum_(k=0)^(infty)1/((-27)^k)(-3/(6k+1)+9/(6k+2)+8/(6k+3)+1/(6k+4)-1/(6k+5))

(8)
= sum_(k=0)^(infty)1/((-19683)^k)((2187)/(18k+1)-(1458)/(18k+3)-(729)/(18k+4)-(81)/(18k+7)+(54)/(18k+9)+(27)/(18k+10)+3/(18k+13)-2/(18k+15)-1/(18k+16))

(9)
= 1/2sum_(k=0)^(infty)1/((-4)^k)(2/(4k+1)-1/(4k+3)-1/(4k+4))

(10)
= 1/8sum_(k=0)^(infty)1/((-8)^k)(8/(3k+1)-4/(3k+2)-1/(3k+3)).

(11)

Plouffe (2006) found the beautiful sum

ln2=10sum_(n=1)^infty1/(n(e^(pin)+1))+6sum_(n=1)^infty1/(n(e^(pin)-1)) -4sum_(n=1)^infty1/(n(e^(2pin)+1)).

(12)

A rapidly converging Zeilberger-type sum due to A. Lupas is given by

ln2=3/4-1/8sum_(n=1)^infty(2n; n)((-1)^(n-1)(5n+1))/(16^nn(n+1/2))

(13)

(Lupas 2000; typos corrected).

The following integral is given in terms of ln2,

int_2^infty(dx)/(xln^2x)=1/(ln2).

(14)

NaturalLogOf2

The plot above shows the result of truncating the series for ln2 after n terms.

Taking the partial series gives the analytic result

sum_(k=1)^(N)((-1)^(k+1))/k = ln2+1/2(-1)^N[psi_0(1/2(N+1))-psi_0(1+1/2N)]

(15)
= ln2+1/2(-1)^N[H_((N-1)/2)-H_(N/2)],

(16)

where psi_0(z) is the digamma function and H_n is a harmonic number. Rather amazingly, expanding about infinity gives the series

sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/k=ln2+(-1)^N[1/(2N)+sum_(k=0)^infty((-1)^kT_k)/(4^kN^(2k))]

(17)

(Borwein and Bailey 2002, p. 50), where T_n is a tangent number. This means that truncating the series for ln2 at half a large power of 10 can give a decimal expansion for ln2 whose decimal digits are largely correct, but where wrong digits occur with precise regularity.

Ln2TangentNumbers

For example, taking N=5×10^6 gives a decimal value equal to the second row of digits above, where the sequence of differences from the decimal digits of ln2 in the top row is precisely the tangent numbers with alternating signs (Borwein and Bailey 2002, p. 49).

Beautiful BBP-type formulas for ln2 are given by

ln2 = 1/2sum_(k=0)^(infty)1/(2^k)1/(k+1)

(18)
= sum_(k=1)^(infty)1/(k·2^k)

(19)

(Bailey et al. 2007, p. 31) and

ln2=2/3sum_(k=0)^infty1/(9^k(2k+1))

(20)

(Borwein and Bailey 2002, p. 129).

A BBP-type formula for (ln2)^2 discovered using the PSLQ algorithm is

(ln2)^2=1/(32)sum_(k=0)^infty1/(64^k)[(64)/((6k+1)^2)-(160)/((6k+2)^2)-(56)/((6k+3)^2)-(40)/((6k+4)^2)+4/((6k+5)^2)-1/((6k+6)^2)]

(21)

(Bailey and Plouffe 1997; Borwein and Bailey 2002, p. 128).

The sum

sum_(k=2^n)^(2^(n+1)-1)1/k=psi_0(2^(n+1))-psi_0(2^n)

(22)

has the limit

lim_(n->infty)sum_(k=2^n)^(2^(n+1)-1)1/k=ln2

(23)

(Borwein et al. 2004, p. 10).

REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "Integer Relation Detection." §2.2 in Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 29-31, 2007.

Bailey, D. H.; Borwein, P. B.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66, 903-913, 1997.

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.

Bailey, D. and Plouffe, S. "Recognizing Numerical Constants." Organic Mathematics. Proceedings of the Workshop Held in Burnaby, BC, December 12-14, 1995 (Ed. J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, and R. Corless). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 73-88, 1997. http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/bailey/.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.

Gourdon, X. and Sebah, P. "The Constant ln2." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Log2/log2.html.

Hata, M. "Legendre Type Polynomials and Irrationality Measures." J. reine angew. Math. 407, 99-125, 1990.

Huylebrouck, D. "Similarities in Irrationality Proofs for pi, ln2, zeta(2), and zeta(3)." Amer. Math. Monthly 108, 222-231, 2001.

Lupas, A. "Formulae for Some Classical Constants." In Proceedings of ROGER-2000. 2000. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/alupas1.pdf.

Plouffe, S. "Identities Inspired from Ramanujan Notebooks (Part 2)." Apr. 2006. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf.

Rukhadze, E. A. "A Lower Bound for the Rational Approximation of ln2 by Rational Numbers." Vestnik Moskov Univ. Ser. I Math. Mekh., No. 6, 25-29 and 97, 1987. [Russian].

Sloane, N. J. A. Sequences A002162/M4074, A016730, and A059180 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Sweeney, D. W. "On the Computation of Euler's Constant." Math. Comput. 17, 170-178, 1963.

Uhler, H. S. "Recalculation and Extension of the Modulus and of the Logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17." Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 26, 205-212, 1940.

EN

تصفح الموقع بالشكل العمودي