Denote the th derivative  and the -fold integral . Then

(1)

Now, if the equation

(2)

for the multiple integral is true for , then

			(3)
			(4)

Interchanging the order of integration gives

(5)

But (3) is true for , so it is also true for all  by induction. The fractional integral of  of order  can then be defined by

(6)

where  is the gamma function.

More generally, the Riemann-Liouville operator of fractional integration is defined as

(7)

for  with  (Oldham and Spanier 1974, Miller and Ross 1993, Srivastava and Saxena 2001, Saxena 2002).

The fractional integral of order 1/2 is called a semi-integral.

Few functions have a fractional integral expressible in terms of elementary functions. Exceptions include

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

where  is a lower incomplete gamma function and  is the Et-function. From (10), the fractional integral of the constant function  is given by

			(12)
			(13)

A fractional derivative can also be similarly defined. The study of fractional derivatives and integrals is called fractional calculus.

REFERENCES:

Miller, K. S. and Ross, B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York: Wiley, 1993.

Oldham, K. B. and Spanier, J. The Fractional Calculus: Integrations and Differentiations of Arbitrary Order. New York: Academic Press, 1974.

Samko, S. G.; Kilbas, A. A.; and Marichev, O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Yverdon, Switzerland: Gordon and Breach, 1993.

Saxena, R. K.; Mathai, A. M.; and Haubold, H. J. "On Fractional Kinetic Equations." 23 Jun 2002. http://arxiv.org/abs/math.CA/0206240.

Srivastava, H. M. and Saxena, R. K. "Operators of Fractional Integration and Their Applications." Appl. Math. and Comput. 118, 1-52, 2001.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مع وصول الزيارة ذروتها.. العتبة العباسية المقدسة تستنفر ملاكاتها لخدمة زائري مرقدي الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

قسم الشؤون الطبية: الخطة الخدمية في سامراء تضمنت مشاركة نحو ٥٠ متطوعًا من ثلاث محافظات

عبر محطات الإجابة عن الاستفتاءات الشرعية مشروع التبليغ الحوزوي يقدّم خدماته لزائري مدينة سامراء

قسم حفظ النظام يشارك في تأمين زيارة الإمام الحسن العسكري (عليه السلام) بمدينة سامراء

المزيد

الآخبار الصحية

دون آثار جانبية.. زيت عشبة طبيعية قد يعالج القلق

"ليكانيماب".. علاج الزهايمر يطرح رسميا في السوق الألمانية

متى يجب تنظيف الأسنان في الصباح.. قبل أم بعد الإفطار؟

ارتفاع الوفيات.. منظمة الصحة تدق جرس الإنذار بشأن الكوليرا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أكبر مشروع طاقة رياح في نصف الكرة الجنوبي يحقق إنجازين جديدين

5 أمور لا تفعلها أثناء تشغيل مكيف سيارتك

ضوء إدارة المحرك: أسئلة مهمة لفهم عمله ومعانيه

"واتساب" يطلق خاصية جديدة لكتابة الرسائل بالذكاء الاصطناعي

المزيد