إن الرياضيات فعالة بشكل غير معقول بطريقتين مختلفتين، أعتقد أن إحداهما مبنية للمعلوم والأخرى مبنية للمجهول. يخلق العلماء أحيانًا أساليبَ مخصصة لقياس الظواهر في العالم الحقيقي. على سبيل المثال، صاغ إسحاق نيوتن حساب التفاضل والتكامل بغرض التعبير عن الحركة والتغيُّر، بتقسيمها إلى سلاسل متتالية من الأجزاء متناهية الصغر. بطبيعة الحال، إن تلك الاختراعات المبنية للمعلوم فعالة؛ فالأدوات، في نهاية الأمر، مصممة وفق الطلب. بالرغم من ذلك، فإن الأمر المدهش هو دقتها المذهلة في بعض الحالات. خذ، على سبيل المثال، الكهروديناميكا الكمومية، إذ طُوِّرت النظرية الرياضية لتصف كيفية تفاعُل الضوء مع المادة. عندما استخدمها العلماء لحساب العزم المغناطيسي للإلكترون، اتفقت القيمة النظرية مع أحدث قيمة مقاسة تجريبية -قدرت بـ100115965218073 بالوحدات الملائمة في عام 2008- باختلاف لا يتجاوز أجزاء قليلة لكل تريليون جزء
الحقيقة أن الرياضيات موجودة في الطبيعة دائماً بإنتظار من يكتشفها بل هي موجودة في الكون بأكمله ولكن الرياضيات كمادة ربما كانت ملعونة ومكروهة ومخيفة بالنسبة للبعض حتى أن التفكير في العمليات الحسابية والجبر والنظريات والهندسة والتفاضل والتكامل قد يؤدي بالبعض إلى الصراخ
والرياضيات كعلم هي ليست إكتشاف من شخص واحد بل هو جهد مشترك بدأ على يد البابليين والمصريين القدماء وذلك منذ 3000 عام قبل الميلاد ثم كانت هناك مساهمات إضافية وهامة من قبل اليونانيين والهنود وغيرهم والتي ساعدت على تطوير المفاهيم والصيغ الرياضية والقوانين التي إستندت على إختراع النظام العددي كما أن هذه المفاهيم صنعت العمود الفقاري لسائر العلوم الأخرى .
ربما يكون ما هو أكثر إثارة للدهشة، أن علماء الرياضيات يطورون أحيانًا مجالات دراسية بكاملها دون وجود تطبيقات في أذهانهم، ومع ذلك يكتشف علماء الفيزياء بعدها بعقود، وحتى بقرون، أن هذه الفروع بالتحديد تفسر ملحوظاتهم. إن الأمثلة على هذا النوع من الفاعلية المبنية للمجهول كثيرة. عمل عالِم الرياضيات الفرنسي إيفاريست جالوا -على سبيل المثال- على تطوير نظرية الزمر في أوائل القرن التاسع عشر لغرض وحيد هو تحديد قابلية حل المعادلات متعددة الحدود. بصفة عامة، فإن الزمر هي بنيات جبرية تتكون من مجموعات من الكائنات (مثلًا، الأعداد الصحيحة) موحدة تحت عملية ما (على سبيل المثال، الجمع) والتي تخضع لقواعد محددة (من بينها وجود عنصر محايد مثل الصفر، والذي يعطي -عند جمعه مع أي عدد صحيح- نفس العدد الصحيح). في فيزياء القرن العشرين، تحول هذا المجال -التجريدي إلى حد ما- إلى أكثر طريقة مثمرة لتصنيف الجسيمات الأولية. وهي وحدات بناء المادة. في الستينيات، كشف عالِما الفيزياء موري جيلمان ويوفال نئمان، كلٌّ على حدة بشكل مستقل، أن هناك زمرة محددة، يشار إليها بـSU(3)، تعكس سلوك الجسيمات دون الذرية التي تدعى هادرونات -وهي الرابطة التي أرست في نهاية المطاف أسس النظرية الحديثة لكيفية ترابط الأنوية الذرية بعضها ببعض.
إن دراسة العُقد مثال جميل آخر على الفاعلية المبنية للمجهول. إن العُقد الرياضية شبيهة بالعُقد اليومية، باستثناء عدم وجود نهايات مرتخية بها. في ستينيات القرن التاسع عشر، تمنى اللورد كلفن أن يصف الذرات كأنابيب معقودة من الإثير. فشل هذا النموذج المضلل في الاتصال مع الواقع، ولكن استمر علماء الرياضيات في تحليل العقد لعدة عقود فقط كذراع مقصور على الرياضيات البحتة. من المثير للدهشة أن نظرية العُقد توفر الآن معلومات مهمة في نظرية الأوتار والجاذبية الكمية الحلقية -وهي أفضل محاولاتنا الحالية لصياغة نظرية للزمكان توفق بين ميكانيكا الكم والنسبية العامة. وبالمثل، طورت اكتشافات عالِم الرياضيات الإنجليزي هاردي في نظرية الأعداد مجال التشفير، بالرغم من إعلانه في وقت سابق أنه "لم يكتشف أحد حتى الآن أي غرض حربي يمكن تحقيقه بواسطة نظرية الأعداد". وفي عام 1854، وصف برنارد ريمان الهندسات غير الإقليدية-وهي مساحات غريبة تتباعد فيها الخطوط المتوازية أو تتقارب. بعدها بأكثر من نصف قرن استعان أينشتاين بتلك الهندسات لبناء نظريته للنسبية العامة.
هناك نمط يظهر، يخترع البشر المفاهيم الرياضية عن طريق استخلاص عناصر من العالم المحيط بهم -أشكال، خطوط، مجموعات، زُمَر وهكذا- إما لغرض ما محدد أو لمجرد المتعة. بعدها ينتقلون لاكتشاف روابط بين تلك المفاهيم. ولأن هذه العملية من الاختراع والاكتشاف من صنع الإنسان -على عكس نوع الاكتشاف الذي يؤيده الأفلاطونيون- فإن الرياضيات عندنا تستند في نهاية المطاف إلى تصوراتنا والصور الذهنية التي يمكننا استحضارها. على سبيل المثال، نحن نمتلك موهبة فطرية، تدعى subitizing، للتعرف الفوري على الكمية، مما أدى بلا شك إلى مفهوم العدد. نحن جيدون للغاية في إدراك حواف الأجسام المنفردة والتمييز بين الخطوط المستقيمة والمنحنية وبين الأشكال المختلفة، مثل الدوائر والأشكال البيضاوية -وهي القدرات التي أدت على الأرجح إلى تطوير علم الحساب والهندسة. وهكذا، أيضًا، أسهمت التجربة الإنسانية المتكررة مع السبب والنتيجة على الأقل جزئيًّا في خلق المنطق، ومعه فكرة أن جملًا معينة تدل على صحة جمل أخرى.
وفي النهايه يجب علينا معرفة الفرق بين الاكتشاف والاختراع
فالاكتشاف يتعلّق بشيءٍ كان موجودًا بالفعل في وقت الاكتشاف، ولكنه لم يكن معروفًا من قبل، ويمكن القول إنّ الاكتشاف هو الوصف الأوّل لقانون طبيعي، ويمكن ملاحظة أنّ أثر الاكتشاف المباشر ينحصر في زيادة المعرفة الإنسانيّة.
أمّا الاختراع فهو ابتكار شيء جديد تمامًا بأفكاره وتطوّره، وتميل النظرة العامّة في العصر الحالي لحصر مفهوم الاختراع بالأشياء الملموسة وعدم الاعتراف بالاختراعات النظريّة وإلّا فإنّه لزامًا علينا أن ننسب اختراع الطائرة والمروحيّة والمظلة لدافنشي الذي رسم تصاميم لهذه الأشياء قبل اختراعها الفعلي، لكن يندرج في إطار الاختراعات كلّ ما نراه اليوم من تقنيات تشمل الاتّصالات والبرمجيّات رغم أنّنا لا نستطيع إمساك الشيفرة البرمجيّة أو أمواج الواي فاي..