x
هدف البحث
بحث في العناوين
بحث في المحتوى
بحث في اسماء الكتب
بحث في اسماء المؤلفين
اختر القسم
موافق
تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Delannoy Number
المؤلف: Banderier, C. and Schwer, S
المصدر: "Why Delannoy Numbers?" To appear in J. Stat. Planning Inference. http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delannoy2004.ps.
الجزء والصفحة: ...
16-9-2021
726
The Delannoy numbers are the number of lattice paths from to in which only east (1, 0), north (0, 1), and northeast (1, 1) steps are allowed (i.e., , , and ). They are given by the recurrence relation
(1) |
with . The are also given by the sums
(2) |
|||
(3) |
|||
(4) |
where is a hypergeometric function.
A table for values for the Delannoy numbers is given by
(5) |
(OEIS A008288) for , 1, ... increasing from left to right and , 1, ... increasing from top to bottom.
They have the generating function
(6) |
(Comtet 1974, p. 81).
Taking gives the central Delannoy numbers , which are the number of "king walks" from the corner of an square to the upper right corner . These are given by
(7) |
where is a Legendre polynomial (Moser 1955; Comtet 1974, p. 81; Vardi 1991). Another expression is
(8) |
|||
(9) |
|||
(10) |
where is a binomial coefficient and is a hypergeometric function. These numbers have a surprising connection with the Cantor set (E. W. Weisstein, Apr. 9, 2006).
They also satisfy the recurrence equation
(11) |
They have generating function
(12) |
|||
(13) |
The values of for , 2, ... are 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, ... (OEIS A001850). The numbers of decimal digits in for , 1, ... are 1, 7, 76, 764, 7654, 76553, 765549, 7655510, ... (OEIS A114470), where the digits approach those of (OEIS A114491).
The first few prime Delannoy numbers are 3, 13, 265729, ... (OEIS A092830), corresponding to indices 1, 2, 8, ..., with no others for (Weisstein, Mar. 8, 2004).
The Schröder numbers bear the same relation to the Delannoy numbers as the Catalan numbers do to the binomial coefficients.
Amazingly, taking the Cholesky decomposition of the square array of , transposing, and multiplying it by the diagonal matrix gives the square matrix (i.e., lower triangular) version of Pascal's triangle (G. Helms, pers. comm., Aug. 29, 2005).
Beautiful fractal patterns can be obtained by plotting (mod ) (E. Pegg, Jr., pers. comm., Aug. 29, 2005). In particular, the case corresponds to a pattern resembling the Sierpiński carpet.
REFERENCES:
Banderier, C. and Schwer, S. "Why Delannoy Numbers?" To appear in J. Stat. Planning Inference. http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delannoy2004.ps.
Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 80-81, 1974.
Dickau, R. M. "Delannoy and Motzkin Numbers." http://www.prairienet.org/~pops/delannoy.html.
Goodman, E. and Narayana, T. V. "Lattice Paths with Diagonal Steps." Canad. Math. Bull. 12, 847-855, 1969.
Moser, L. "King Paths on a Chessboard." Math. Gaz. 39, 54, 1955.
Moser, L. and Zayachkowski, H. S. "Lattice Paths with Diagonal Steps." Scripta Math. 26, 223-229, 1963.
Sloane, N. J. A. Sequences A001850/M2942, A008288 , A092830, A114470, and A114491 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Stocks, D. R. Jr. "Lattice Paths in with Diagonal Steps." Canad. Math. Bull. 10, 653-658, 1967.
Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1991.