x
هدف البحث
بحث في العناوين
بحث في المحتوى
بحث في اسماء الكتب
بحث في اسماء المؤلفين
اختر القسم
موافق
تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Homotopy Group
المؤلف: Aubry, M
المصدر: Homotopy Theory and Models. Boston, MA: Birkhäuser, 1995.
الجزء والصفحة: ...
12-5-2021
1293
The homotopy groups generalize the fundamental group to maps from higher dimensional spheres, instead of from the circle. The th homotopy group of a topological space is the set of homotopy classes of maps from the n-sphere to , with a group structure, and is denoted . The fundamental group is , and, as in the case of , the maps must pass through a basepoint . For , the homotopy group is an Abelian group.
The group operations are not as simple as those for the fundamental group. Consider two maps and , which pass through . The product is given by mapping the equator to the basepoint . Then the northern hemisphere is mapped to the sphere by collapsing the equator to a point, and then it is mapped to by . The southern hemisphere is similarly mapped to by . The diagram above shows the product of two spheres.
The identity element is represented by the constant map . The choice of direction of a loop in the fundamental group corresponds to a manifold orientation of in a homotopy group. Hence the inverse of a map is given by switching orientation for the sphere. By describing the sphere in coordinates, switching the first and second coordinate changes the orientation of the sphere. Or as a hypersurface, , switching orientation reverses the roles of inside and outside. The above diagram shows that is homotopic to the constant map, i.e., the identity. It begins by expanding the equator in , and then the resulting map is contracted to the basepoint.
As with the fundamental group, the homotopy groups do not depend on the choice of basepoint. But the higher homotopy groups are always Abelian. The above diagram shows an example of . The basepoint is fixed, and because the map can be rotated. When , i.e., the fundamental group, it is impossible to rotate the map while keeping the basepoint fixed.
A space with for all is called -connected. If is -connected, , then the Hurewicz homomorphism from the th-homotopy group to the th-homology group is an isomorphism.
When is a continuous map, then is defined by taking the images under of the spheres in . The pushforward is natural, i.e., whenever the composition of two maps is defined. In fact, given a fibration,
where is pathwise-connected, there is a long exact sequence of homotopy groups
REFERENCES:
Aubry, M. Homotopy Theory and Models. Boston, MA: Birkhäuser, 1995.