فضاء المتجهات الحقيقي:

درسنا في السابق فضاء المتجهات الإقليدي . سنحاول في هذا الفصل تسليط الضوء على فضاءات أخرى إضافة للفضاء الإقليدي مثل المصفوفات ومتعددات الحدود وغيرها.

تعريف (1-1):

تسمى المجموعة غير الخالية V مع عمليتين ثنائيتين معرفتين هما الجمع والضرب بعدد ثابت، فضاء متجهات على الأعداد الحقيقية، إذا تحقق الشروط الآتية:

ملاحظة:

1- عملية الجمع يرمز لها + والضرب بعدد ثابت يعني ضرب v بالعدد k (أي kv).

2. تسمى عناصر V متجهات.

3. الرمز A₁ استخدم هنا لشروط الجمع، أما m₁ فقد استخدمت للضرب (لسهولة حفظها).

مثال(1):

المجموعة V=R^nمع عمليتي الجمع والضرب بعدد ثابت والمعرفة في (1.1) تحقق الشروط أعلاه. عليه فهي قضاء متجهات.

مثال(2): لتكن {0}V = ، أي أن V تحوي على عنصر واحد هو 0، فإن V تحقق شروط        ( 1-1) جميعها فهي إذن فضاء متجهات.

مثال(3):

لتكن V={(a,b):b=ka} حيث k عدد حقيقي ثابتة و a عدد حقيقي. عليه فإن V تحتوي على جميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم b = ka المار بنقطة الأصل والذي ميله k ولما كان

فإن الشرطان A₁ و A₅ متحققان. بما أن بقية الشروط يمكن إثباتها بسهولة. لذا فإن V فضاء متجهات.

مثال(4):

نفرض {y:y = 2x + 1 } V =  حيث x عدد حقيقي. لاحظ أن V مجموعة جميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم V .y = wx+1 لا تكون فضاء متجهات لأن شرط الأنغلاق الجمعي لا يتحقق وذلك لأن:

مثال(5):

لتكنV=P n(x)مجموعة جميع متعددات الحدود من الدرجة أصفر أو تساوي n. أي:

حيث a_i أعداد حقيقية. فإن V فضاء متجهات لأن:

 الشرط A_s متحقق. بالاستمرار على نفس الطريقة يمكننا برهان الشروط الاخرى. إذن V=P n(x). فضاء متجهات.

مثال(6):

إذا كانت . فإن مجموعة جميع النقاط في R² التي تكون الربعين الأول والثاني K ليست فضاء متجهات لأن على سبيل المثال ، النقطة (1,1) ليست لها معكوس في V V] ∌ -1,-1)].

مبرهنة (1-2):

لتكن V فضاء متجهات، v∊V و K كمية ثابتة، فإن :

1. 0V = 0

2. K0 = 0

3. (-1) v = -v

4. إذا kv = 0 فإن K = 0 او v = 0

البرهان:

نبرهن (2) و (3).

2. بما أن 0 + 0 = 0 [A₄ مبرهنة (1-1) ].

إذن  k (0+0) = K0 + ko = K0 [m₃ مبرهنة (1-1) ].

بإضافة –k0 للطرفين: