خواص دالة المحدد:

يتضمن هذا البند بعض الخواص المهمة لدالة المحدد .

الخاصية الأولى:

لتكن A مصفوفة سعتها n × n و k عدد ثابت فإن:

البرهان: بما أن كل عامل مشترك في أي صف من صفوف A يمكن إخراجه خارج المحدد (مبرهنة 2-3-3(1)) ولما كان عدد صفوف A هو n وإن كل صف فيه عامل مشترك k فإن:

                                                          |KA|=Kⁿ|A|

مثال (1):

البرهان:

سنوضح العلاقة أعلاه بمثال:

مثال (2):

الخاصية الثالثة:

لتكن A و B مصفوفتان مربعتان لوهما نفس السعة فإن:

البرهان:

ليس من السهولة برهان هذه الخاصية، إذ يجب معرفة بعض النتائج الإضافية. لذا سنكتفي بمثال توضيحي.

نفرض A و B  مصفوفتان سعة كل منهما 2 ×  2حيث:

لذا:

مثال(3):

مبرهنة (1-1):

المصفوفة المربعة A قابلة للانعكاس إذا وفقط إذا          det(A)≠0

البرهان:

نفرض أن A قابلة للانعكاس أي أن AA^-1 = 1 إذن

ومن هنا نستنتج أن : det (A) ≠ 0

وبالعكس نفرض det (A) = 0 ولتكن S هي الشكل المدرج الصفي للمصفوفة A.

بما ان S يمكن الحصول عليها بواسطة سلسلة منتهية من العمليات الصفية البسيطة أي يمكننا إيجاد مصفوفات بسيطة E_n, … , E₂, E₁ بحيث:

وبما أن det (A) = 0 فإنdet (S) ≠ 0  هذا يعني أن الشكل المدرج الصفي المختزل S لا يحتوي على أس صف جميع عناصره أصفار. لذا فإن S = I إذن معكوس المصفوفة A موجود ويساوي

                                                                   A^-1=E_n…..E₂E₁

الخاصية الرابعة:

إذا كانت A مصفوفة قابلة للانعكاس سعتها n × n فإن

البرهان:

بما أن AA^-1 = I فإن det (A^-1A) det (I)

ينتج من ذلك : det (A^-1). det (A) = 1

ولما كان det (A) ≠ 0

مبرهنة (1-2):

لتكن A مصفوفة سعتها n × n فإن الصيغ الآتية متكافئة.

1. A قابل للانعكاس.

2. AX = 0 له حل واحد فقط هو الحل الصفري.

3. الشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة A هو I_n.

4. A تكتب كحاصل ضرب عدد محدد من المصفوفات الاولية.

5. AX = B نظاماً متسقاً لكل B ذات السعة n x 1 .

6. AX = B له بالضبط حل واحد لكل B ذات السعة n x 1.