الضرب الاتجاهي (الضرب التقاطعي):

كثيراً من تطبيقات المتجهات في الفيزياء والهندسة تحتاج إلى معرفة المتجه المرسوم في الفضاء 3- الذي يكون عمودياً على متجهين معلومين. سنحاول في هذا البند التعريف بأحد انواع المتجهات الذي يعطينا ذلك المتجه.

تعريف (1-1): لكت v = (v₁ , v₂ , v₃)  و u = (u₁ , u₂, u₃) متجهان مرسومان في فضاء 3- فإن الضرب الاتجاهي ،يكتب v x u، يعرف:

إن حفظ الصيغة اعلاه قد يبدو صعباً، لذا نقترح الطريقة الآتية لإيجاد مركبات v x u.

1. نرتب مركبات v و u بشكل مصفوفة سعتها 2 x 3.

2. نوجد المركبة الاولى للمتجه v x u بحذف العمود الأول ونأخذ محدد المصفوفة الباقية فنحصل على:

3. نوجد المركبة الثانية للمتجه v x u بحذف العمود الثاني ونأخذ سالب محدد المصفوفة الباقية:

4. نحذف العمود الثالث من المصفوفة الأصلية وبأخذ محدد المصفوفة المتبقية نحصل على:

 مثال (1):

أوجد v x u إذا علمت ان v = (4-, 0,2) و u = (1,3,-3)

الحل:

نجد مصفوفة مركبات v و u:

ملاحظة:

الضرب النقطي v.u هو كمية ثابتة بينما الضرب الاتجاهي v x u فهو متجه. كما وأن المتجه  v x u عمودي على كل من v و u.

مبرهنة (1-2):

إذا كانت w,u,v متجهات مرسومة في فضاء 3- فإن:

1. v. (v x u) = 0 (v x u عمود على v).

2. u. (v x u) ( v x u عمود على v).

البرهان:

نبرهن الحالة (1)

مثال(2):

لتكن v = (2,3,-4) ، u = (1,-1,2) . احسب u x v ثم برهن أن u x v عمودياً على كل من u و v.

الحل:

وبنفس الطريقة v. (u x v) = 0

لذا فإن u x v متجهات في فضاء 3- و k كمية ثابتة فإن:

البرهان:

نكتب المصفوفة:

لتكن i = (1,0,0)، j = (0,1,0) ، k = (0,0,1) هذه المتجهات تسمى متجهات الوحدة القياسية في فضاء 3- وتقع على امتداد الإحداثيات الثلاثية (الشكل (3-23). وأن أي متجه مثل               v = (v₁,v₂,v₃)يمكن التعبير عنه بدلالة k,j,i وكالآتي:

                                                شكل1-1 

               شكل (1-2)

ولسهولة حفظ هذه العلاقات يمكن تمثيل ذلك باستخدام الشكل (1-2)، حيث أن الضرب الاتجاهي لأي متجهين قياسيين باتجاه عقارب الساعة يساوي المتجه الثالث بإشارة موجبة والضرب عكس عقارب الساعة فيساوي المتجه الثالث بإشارة سالبة.

ملاحظة:

يمكن التعبير عن الضرب الاتجاهي باستخدام k , j , i وكما يأتي:

مثال (3):

لتكن v = (1,0,-2)  و  u = (3,2,1) فإن:

مبرهنة (1-4):

إذا كانت v و u متجهان في فضاء 3-، فإن || v x u|| تساوي مساحة متوازي الأضلاع المتكونة بواسطة v و u.

البرهان:

من المبرهنة (1-2) (3) لدينا:

لكن ||u||sin⍉ هو ارتفاع متوازي الأضلاع المتكون من v و u. لذا فإن مساحته A (شكل 1-3) هي:

                                                شكل (1-3)

مثال(4):

أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي رؤوسه P = (1,3,-2) ، Q (2,1,4) و R(-3,1,60)

الحل:

                   شكل (1-4)

تعريف (1-5):

إذا كانت w, u, v متجهات في فضاء 3-، فإن v. (u x w) يقال له الضرب الثلاثي النقطي.

من الممكن إيجاد الضرب الثلاثي النقطي للمتجهات v = (v₁, v₂, v₃) و u = (u₁ , u₂, u₃) و w = (w₁ , w₂ , w₃) من الصيغة:

مثال (5):

أوجد الضرب الثلاثي النقطي للمتجهات:

تمرين (1): مساحة متوازي الأضلاع في فضاء 2- المتكون من u = (u₁ , u₂)  و               u = (u₁ , u₂) تساوي القيمة المطلقة للمحدد:

(2) حجم متوازي المستطيلات ف فضاء 3 المتكون بوساطة المتجهات 

 يساوي القيمة المطلقة للمحدد:

الحل:

(1) من الممكن استعمال مبرهنة (1-4) لبرهان الحالة (1) من خلال اعتبار v = (v₁ , v₂)  و  u = (u₁, u₂) متجهات مرسومة ف الفضاء الجزئي xy من النظام الثلاثي الأبعاد xyz (شكل 1-5). في هذه الحالة v = (v₁, v₂, 0)  و  (u₁, u₂, 0). لذا

وبموجب المبرهنة (1-4) وحقيقة كون ||K|| = 1، المساحة A لمتوازي الأضلاع المحدد بالمتجهات U , V:

                        شكل (1-5)

(2) قاعدة متوازي المستطيلات المتكونة من المتجهات W , U, V عبارة عن متوازي الأضلاع المتكونة بواسطة w , u (شكل 1-6).

عليه وبموجب مبرهنة (1-4) فإن مساحة القاعدة هي ||u x w||، وارتفاع متوازي المستطيلات h هو طول المسقط العمودي للمتجه v على u x w.

لذا بموجب الصيغة (9) في (الضرب النقطي , المساقط)

                                      شكل (1-6)

عليه فحجم متوازي المستطيلات:

V = القاعدة × الارتفاع

وبموجب الصيغة (5)

مثال(6): أوجد حجم متوازي المستطيلات المحدد بالمتجهات v = (4,1,1) و u = (2,1,0) و w = (0,2,3) الحل:

تعريف (1-6):

المستويين ₁ πو π₂ متوازيين إذا كان حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفراً                    (π₁ x π₂ = 0)

مثال (7):

الحل:

وكذلك n₁xn₂=0 فإن المستويان متوازيين لاحظ الشكل (1-7)